11. Jerarquía de operaciones

Sean a, b y c números reales. Queremos definir el orden de prioridad de las operaciones suma y multiplicación en la expresión, sin parentesis, de:



Tenemos dos opciones:


Opción 1.   a+b *c = (a+b)*c


Opción 2.   a+b *c = a+(b*c)


Veamos que la primera opción no puede ser adecuada.

Bien; supongamos verdadera la siguiente:
 
Afirmación 1: Si a, b y c son números reales, entonces el número a+b*c está definido y
a+b*c=(a+b)*c.


Teorema1. Sean a, b y c  números reales. Si a+b*c=(a+b)*c entonces a=0 ó c=1.


Demostración:


a+b*c=(a+b)*c                              

a+b*c=(a*c) + (b*c)                         Propiedad distributiva

a+b*c=(a*c) + [(0+b)*c)]                 Propiedad neutro aditivo

a+b*c=(a*c) + [0+b*c)]                   Afirmación 1

a+b*c=(a*c) + [(-a+a)+b*c)]           Propiedad inverso aditivo

a+b*c=(a*c) + [-a+(a+b*c)]            Propiedad asociativa para la suma

a+b*c=[(a*c) + -a]+(a+b*c)            Propiedad asociativa para la suma

          0=(a*c) + -a                           Propiedad de cancelación para la suma

          0=(a*c) + a*(-1)                     Propiedad del signo para la multiplicación

          0=a*(c + -1)                           Propiedad distributiva

          a=0 ó c + -1=0                      Propiedad sin divisores de cero

          a=0 ó c=1

fin de la demostración


Teorema 2. Sean a, b y c  números reales. Si a+(b*c)=(a+b)*c entonces a=0 ó c=1.


Demostración:


a+(b*c)=(a+b)*c                              

a+(b*c)=(a*c) + (b*c)                        Propiedad distributiva

a+(b*c)=(a*c) + [0+(b*c)]                 Propiedad neutro aditivo

a+(b*c)=(a*c) + [(-a+a)+(b*c)]         Propiedad inverso aditivo

a+(b*c)=(a*c) + [-a+(a+(b*c))]         Propiedad asociativa para la suma

a+(b*c)=[(a*c) + -a]+[a+(b*c)]         Propiedad asociativa para la suma

          0=(a*c) + -a                             Propiedad de cancelación para la suma

          0=(a*c) + a*(-1)                       Propiedad del signo para la multiplicación

          0=a*(c + -1)                             Propiedad distributiva

          a=0 ó c + -1=0                        Propiedad sin divisores de cero

          a=0 ó c=1
        
Teorema 3. Sean a, b y c  números reales. Si a=0 ó c=1, entonces a+(b*c)=(a+b)*c.

Demostración:


1) a=0

a+(b*c)=0+(b*c)=b*c=(0+b)*c=(a+b)*c


2) c=1

a+(b*c)=a+(b*1)=a+b=(a+b)*1=(a+b)*c


Teorema 4. Sean a, b y c  números reales. Si a+(b*c)=(a+b)*c, si y sólo si, a=0 ó c=1.

Demostración:

Se sigue de los teoremas 2 y 3.


Como podrán ver, sí definimos el número a+b*c como (a+b)*c, entonces llegamos a la conclusión, vacua de que a=0 ó c=1. Esto es, el número a+b*c, así como lo definimos en la afirmación 1, no tiene sentido para cuando el número a es diferente de 0 y para cuando el número c es diferente de 1. 

Por otra parte; los números a+(b*c) y (a+b)*c son iguales, también, sólo cuando el número a es cero ó cuando el número c es 1.

Esto es; tanto el número a+b*c como el número a+(b*c) coinciden con (a+b)*c sólo cuando a es cero ó bien; cuando c es uno.

Por lo que la adecuada definición para el número a+b*c es a+(b*c).

Definición: Si a, b y c son números reales, entonces el número a+b*c está definido y