11. Jerarquía de operaciones

1. Conjunto sin divisores de cero

Definición: Un conjunto (anillo) A,  dotado de una operación binaria, *, se llama sin divisores de cero, siempre que se cumpla que el producto de cualesquiera par de elementos es cero,  entonces algunos de los dos elementos es el elemento cero. 

Dicho de otra forma:

El par (A,*) es sin divisores de cero si se cumple lo siguiente:

Si para a, b elementos de A, tal que a*b=0, entonces a=0 ó b=0.

Equivalentemente:

(Si a*b=0  y  a ≠ 0 , entonces a=0)   ó   (Si a*b=0   y  b ≠0, entonces a=0)


Teorema:  Sea (A, +, *) un conjunto (anillo) sin divisores de cero, si y solo si, (A, +, *) cumple con la propiedad de cancelación.

Demostración:

Supongamos que se cumple que (A, +, *) es un conjunto sin divisores de cero.
Sea a, b, x elementos de A tal que:  a*x=b*x  y x ≠ 0.
Entonces a*x - b*x=0, entonces (a-b)*x=0, entonces a-b=0, es decir, a=b.

Supongamos que en (A, +, *) se cumple con la propiedad de cancelación.

Sean a, b elementos de A tal que; a*b=0.
1. Supongamos que a ≠ 0, entonces  a*b=a*0, entonces b=0.
2. Supongamos que b ≠ 0, entonces  a*b=b*0, entonces a=0.

2. Jerarquía de operaciones entre la suma y la multiplicación en los numeros reales.

Sean a, b y c números reales. Queremos definir el orden de prioridad entre las operaciones suma y multiplicación en la expresión, sin parentesis, de:


Tenemos sólo las dos opciones posibles siguientes:


Opción 1.   a+b *c = (a+b)*c


Opción 2.   a+b *c = a+(b*c)


Veamos que la primera opción no puede ser adecuada.

Bien; supongamos verdadera la siguiente:
 
Afirmación 1: Si a, b y c son números reales, entonces el número a+b*c está definido y
a+b*c=(a+b)*c.


Teorema1. Sean a, b y c  números reales. Si a+b*c=(a+b)*c entonces a=0 ó c=1.


Demostración:


a+b*c=(a+b)*c                              

a+b*c=(a*c) + (b*c)                         Propiedad distributiva

a+b*c=(a*c) + [(0+b)*c)]                 Propiedad neutro aditivo

a+b*c=(a*c) + [0+b*c)]                   Afirmación 1

a+b*c=(a*c) + [(-a+a)+b*c)]           Propiedad inverso aditivo

a+b*c=(a*c) + [-a+(a+b*c)]            Propiedad asociativa para la suma

a+b*c=[(a*c) + -a]+(a+b*c)            Propiedad asociativa para la suma

          0=(a*c) + -a                           Propiedad de cancelación para la suma

          0=(a*c) + a*(-1)                     Propiedad del signo para la multiplicación

          0=a*(c + -1)                           Propiedad distributiva

          a=0 ó c + -1=0                      Propiedad sin divisores de cero

          a=0 ó c=1

fin de la demostración


Teorema 2. Sean a, b y c  números reales. Si a+(b*c)=(a+b)*c entonces a=0 ó c=1.


Demostración:


a+(b*c)=(a+b)*c                              

a+(b*c)=(a*c) + (b*c)                        Propiedad distributiva

a+(b*c)=(a*c) + [0+(b*c)]                 Propiedad neutro aditivo

a+(b*c)=(a*c) + [(-a+a)+(b*c)]         Propiedad inverso aditivo

a+(b*c)=(a*c) + [-a+(a+(b*c))]         Propiedad asociativa para la suma

a+(b*c)=[(a*c) + -a]+[a+(b*c)]         Propiedad asociativa para la suma

          0=(a*c) + -a                             Propiedad de cancelación para la suma

          0=(a*c) + a*(-1)                       Propiedad del signo para la multiplicación

          0=a*(c + -1)                             Propiedad distributiva

          a=0 ó c + -1=0                        Propiedad sin divisores de cero

          a=0 ó c=1
        
Teorema 3. Sean a, b y c  números reales. Si a=0 ó c=1, entonces a+(b*c)=(a+b)*c.

Demostración:


1) a=0

a+(b*c)=0+(b*c)=b*c=(0+b)*c=(a+b)*c


2) c=1

a+(b*c)=a+(b*1)=a+b=(a+b)*1=(a+b)*c


Teorema 4. Sean a, b y c  números reales. Si a+(b*c)=(a+b)*c, si y sólo si, a=0 ó c=1.

Demostración:

Se sigue de los teoremas 2 y 3.


Como podrán ver, sí definimos el número a+b*c como (a+b)*c, entonces llegamos a la irremediable conclusión, de que a=0 ó c=1. Esto es, el número a+b*c, así como lo definimos en la afirmación 1, tiene contradicción, para cuando el número a es diferente de 0 y para cuando el número c es diferente de 1. 

Por otra parte; los números a+(b*c) y (a+b)*c son iguales, también, sólo cuando el número a es cero ó cuando el número c es 1.

Esto es; tanto el número a+b*c como el número a+(b*c) coinciden con el número (a+b)*c sólo cuando a es cero ó bien; cuando c es uno.

Por lo que la adecuada definición para el número a+b*c es a+(b*c).

Definición: Si a, b y c son números reales, entonces el número a+b*c está definido y

3. La división por cero

He aquí una explicación del porqué la división por cero no está definida.

Recordemos que un número real b divide a otro número real a si, y sólo si, existe un número real c tal que a=b ∙c

Propisición: Sea b un número real. Si 0 divide al número b, entonces b=0.

Demostración:


Sea b un número real.


Supongamos que 0 divide al número b, entonces existe un número real c, tal que:


b=0 ∙ c     [1]

 

Por otro lado, sabemos que:

0 ∙ c=0    [2]


Así que, por [1] y [2] concluimos que


b=0.

Fin de la demostración.


Como podrán ver, si aceptamos que el número cero divida a cualquier número real, entonces la consecuencia sería realmente desastroza, esto es, todos los números se reducirian a un sólo numero, a saber, el cero.


Es por esta razón de que no aceptamos la división por cero.


Definición: El cero no divide a ningún número real.