6. Aplicación de cambio de variables para integrales
Una aplicación del teorema de cambio de variable para integrales
Consideremos aquella función, sí es que existe, cumpliendo que su derivada es directamente proporcional a ella misma. Esto es; una función f(x), tal que:
df(x)/dx = λ f(x) [1]
Supongamos que la función f es continua en x0, y f(x0)>0. Entonces, para cierto intervalo abierto, la función cumple que f(x)>0.
Ahora bien; multipliquemos [1] por la función 1/ f(x)
1/ f(x) df(x)/dx = λ [2]
Integrando ambos lados de [2], tenemos:
∫ 1/f(x) df(x)dx =∫ λ dτ [3]
considerando el intervalo de integración [x0, x] de [3]
∫x0 x 1/f(τ) df(τ) dτ = ∫x0 x λ dτ [4]
Haciendo uso del teorema de cambio de variable para integrales:
∫x0 x 1/f(τ) df(τ) dτ = ∫f(x0) f(x) 1/u du [5]
De [4] y [5] tenemos:
∫f(x0) f(x) 1/u du = ∫x0 x λ dτ [6]
Resolviendo cada una de las integrales de [6] por separado:
∫f(x0) f(x) 1/u du = Ln|(f(x)| - Ln|f(x0)|
∫x0 x λ dτ = λ (x-x0)
Tenemos:
Ln|f(x)| - Ln|f(x0)|=λ (x-x0) [7]
Ahora bien; puesto que f(x)>0 y por propiedades de Ln, tenemos:
Ln(f(x) / f(x0)) = λ (x-x0) [8]
Aplicando la función exponencial en ambos términos de [8], tenemos:
f(x) / f(x0) = e λ (x-x0)
Es decir:
f(x) = f(x0) e λ (x-x0)
Teorema [crecimiento exponencial] El crecimiento de una población que crece de manera exponencial en el tiempo t, está modelada por una función p(t) expresada como:
p(t)=p(t0) e λ t
Donde:
p(t) es la cantidad de población en el tiempo t.
p(t0) es la cantidad de población en el tiempo t0.
λ es la tasa relativa de crecimiento y es una fracción de la población.